🎯 学习目标：认识杠杆及其五要素；理解力臂概念；掌握杠杆平衡条件 F₁l₁=F₂l₂；区分三类杠杆。
1.1 杠杆及其五要素O · F₁ · F₂ · l₁ · l₂
五要素中，支点、动力、阻力较易找；两条力臂是难点，务必“作垂线”而不是连作用点。
杠杆：在力的作用下能绕固定点转动的硬棒，叫做杠杆。（硬棒可直可弯，只要能绕固定点转动即可。）
| 要素 | 符号 | 含义 |
|---|---|---|
| 支点 | O | 杠杆绕着转动的固定点 |
| 动力 | F₁ | 使杠杆转动的力 |
| 阻力 | F₂ | 阻碍杠杆转动的力 |
| 动力臂 | l₁ | 从支点到动力作用线的垂直距离 |
| 阻力臂 | l₂ | 从支点到阻力作用线的垂直距离 |
⚠️ 力臂最易错点：力臂是支点到力的作用线的距离，不是支点到力的作用点的距离！画力臂三步：① 找支点 O；② 画出力的作用线（沿力的方向双向延长）；③ 从支点向作用线作垂线，垂线段的长度就是力臂。
只有当力恰好垂直于杠杆时，力臂才与“支点到作用点的那段杠杆”重合；力一旦斜着拉，力臂就短于那段杠杆，而且力臂可以不在杠杆上。
只有当力恰好垂直于杠杆时，力臂才与“支点到作用点的那段杠杆”重合；力一旦斜着拉，力臂就短于那段杠杆，而且力臂可以不在杠杆上。
✅ 【原理·知识来源】为什么起决定作用的是“力臂”而不是“作用点”？
杠杆的效果是使杠杆绕支点转动。用同样大的力去推门：推在门轴附近很难推动，推在门边缘就很轻松；如果顺着门面推（力的作用线通过门轴），无论多大力都推不动。
可见转动效果的强弱，取决于力的作用线离支点有多远——这个“支点到力的作用线的垂直距离”就是力臂。力的作用线通过支点时力臂为 0，这个力不会使杠杆转动，这正说明起决定作用的是力臂，而不是作用点。
杠杆的效果是使杠杆绕支点转动。用同样大的力去推门：推在门轴附近很难推动，推在门边缘就很轻松；如果顺着门面推（力的作用线通过门轴），无论多大力都推不动。
可见转动效果的强弱，取决于力的作用线离支点有多远——这个“支点到力的作用线的垂直距离”就是力臂。力的作用线通过支点时力臂为 0，这个力不会使杠杆转动，这正说明起决定作用的是力臂，而不是作用点。
- 杠杆的平衡状态：杠杆静止不动，或绕支点匀速转动，都叫做杠杆处于平衡状态；
- 动力与阻力的判断：使杠杆按你需要的方向转动的力是动力 F₁，阻碍杠杆按这个方向转动的力是阻力 F₂。两者都是作用在杠杆上的力，且使杠杆转动的方向相反。
1.2 杠杆的平衡条件（阿基米德）拖动调平
拖动动力、阻力及两条力臂，让 F₁l₁ 与 F₂l₂ 相等，观察杠杆是否水平平衡。
杠杆平衡条件：F₁ l₁ = F₂ l₂ （动力×动力臂 = 阻力×阻力臂）
动力 × 动力臂
—
阻力 × 阻力臂
—
💡 调节四个滑块使 F₁l₁ = F₂l₂，杠杆恰好水平平衡；哪边的“力×力臂”更大，哪边就下沉。图中虚线就是力臂：从支点 O 向竖直的力的作用线作垂线。
✅ 【实验原理】探究杠杆平衡条件的两个“为什么”
① 实验前为什么要调节平衡螺母，使杠杆在水平位置平衡？因为杠杆自身也有重力，只有让它在不挂钩码时就水平静止，才能消除杠杆自重对实验的影响。（注意：调节平衡螺母只能在挂钩码之前做，实验过程中绝不能再动平衡螺母。）
② 挂上钩码后为什么还要让杠杆在水平位置平衡？因为钩码的拉力是竖直向下的，杠杆水平时力臂正好沿着杠杆，可以直接从杠杆上的刻度读出力臂，不必再另作垂线。
③ 为什么要多次测量？为了得到普遍规律，避免一次实验的偶然性（这与“多次测量求平均值减小误差”不同）。
① 实验前为什么要调节平衡螺母，使杠杆在水平位置平衡？因为杠杆自身也有重力，只有让它在不挂钩码时就水平静止，才能消除杠杆自重对实验的影响。（注意：调节平衡螺母只能在挂钩码之前做，实验过程中绝不能再动平衡螺母。）
② 挂上钩码后为什么还要让杠杆在水平位置平衡？因为钩码的拉力是竖直向下的，杠杆水平时力臂正好沿着杠杆，可以直接从杠杆上的刻度读出力臂，不必再另作垂线。
③ 为什么要多次测量？为了得到普遍规律，避免一次实验的偶然性（这与“多次测量求平均值减小误差”不同）。
1.3 三类杠杆省力/费力/等臂
| 类型 | 力臂关系 | 特点 | 实例 |
|---|---|---|---|
| 省力杠杆 | l₁ > l₂ | 省力，但费距离 | 撬棒、钢丝钳、独轮车、羊角锤、开瓶器 |
| 费力杠杆 | l₁ < l₂ | 费力，但省距离 | 钓鱼竿、镊子、筷子、人的前臂、理发剪刀 |
| 等臂杠杆 | l₁ = l₂ | 不省力，也不省距离 | 天平、定滑轮（跷跷板可近似） |
✅ 【原理】“省力必费距离”是怎么来的？
杠杆转动时，动力作用点与阻力作用点画出的圆弧，与各自的力臂成正比：力臂长的一端，移动的距离也长。
省力杠杆 l₁ > l₂，所以动力端移动的距离 s₁ 也大于阻力端移动的距离 s₂。由平衡条件 F₁l₁ = F₂l₂ 可得 F₁s₁ = F₂s₂——动力做的功等于阻力做的功，省下的力全部“还”在了距离上。这就是功的原理：使用任何机械都不省功。
杠杆转动时，动力作用点与阻力作用点画出的圆弧，与各自的力臂成正比：力臂长的一端，移动的距离也长。
省力杠杆 l₁ > l₂，所以动力端移动的距离 s₁ 也大于阻力端移动的距离 s₂。由平衡条件 F₁l₁ = F₂l₂ 可得 F₁s₁ = F₂s₂——动力做的功等于阻力做的功，省下的力全部“还”在了距离上。这就是功的原理：使用任何机械都不省功。
💡 “省力必费距离，省距离必费力”——这正体现了功的原理：使用杠杆不省功。费力杠杆虽然费力，但能省距离、方便操作，所以并非没有用（如钓鱼竿费力，却能让鱼竿梢大幅度快速摆动）。
关于力臂，下列说法正确的是（ ）
力臂是支点到力的作用线的垂直距离，不是到作用点的距离，也不一定在杠杆上；动力臂与阻力臂谁大谁小取决于杠杆类型。
下列工具中，属于省力杠杆的是（ ）
镊子、钓鱼竿、筷子都是 l₁<l₂ 的费力杠杆；钢丝钳 l₁>l₂，是省力杠杆。
🎯 学习目标：知道定滑轮、动滑轮的实质与特点；会分析滑轮组的省力情况；掌握 F=(G物+G动)/n 与 s绳=nh。
2.1 定滑轮与动滑轮等臂 vs 省力
定滑轮
轴固定不动的滑轮。实质：等臂杠杆（l₁=l₂）。
特点：不省力（F = G），但能改变力的方向。
如：升国旗的旗杆顶滑轮、窗帘滑轮。
动滑轮
轴随物体一起移动的滑轮。实质：动力臂是阻力臂 2 倍的杠杆。
特点：省一半力（不计摩擦和轮重时 F = ½G），但费一倍距离，不能改变力的方向。
理想动滑轮（不计轮重和摩擦）：F = ½ G物，s绳 = 2h
动滑轮（计入动滑轮重、不计摩擦）：F = ½ (G物 + G轮)
动滑轮（计入动滑轮重、不计摩擦）：F = ½ (G物 + G轮)
✅ 【原理·知识来源】滑轮其实就是“变了形的杠杆”
定滑轮：它绕轴心 O 转动，所以轴心就是支点。绳子拉力和物重都沿轮缘切线方向，两条力臂都等于轮的半径 r，即 l₁ = l₂ = r——这是等臂杠杆。由 F₁l₁ = F₂l₂ 得 F = G：不省力，也不省距离，但可以改变用力的方向。
动滑轮：提升时轮沿着绳子“滚”，支点在轮与绳的接触点（轮缘一侧）。动力（绳的拉力）作用在轮的另一侧，动力臂等于直径 2r；阻力（物重）挂在轴心，阻力臂等于半径 r。于是 l₁ = 2 l₂，由 F₁l₁ = F₂l₂ 得 F = ½G——这就是动滑轮省一半力的根本原因。
定滑轮：它绕轴心 O 转动，所以轴心就是支点。绳子拉力和物重都沿轮缘切线方向，两条力臂都等于轮的半径 r，即 l₁ = l₂ = r——这是等臂杠杆。由 F₁l₁ = F₂l₂ 得 F = G：不省力，也不省距离，但可以改变用力的方向。
动滑轮：提升时轮沿着绳子“滚”，支点在轮与绳的接触点（轮缘一侧）。动力（绳的拉力）作用在轮的另一侧，动力臂等于直径 2r；阻力（物重）挂在轴心，阻力臂等于半径 r。于是 l₁ = 2 l₂，由 F₁l₁ = F₂l₂ 得 F = ½G——这就是动滑轮省一半力的根本原因。
⚠️ “省力必费距离”——动滑轮省一半力（F = G/2），绳端就要移动一倍的距离（s = 2h）；两者相乘 F·s = (G/2)(2h) = Gh，做的功一点也没省。
定滑轮不省力，但换个方向拉更方便（向下拉比向上举省劲又安全）。
定滑轮不省力，但换个方向拉更方便（向下拉比向上举省劲又安全）。
2.2 滑轮组的省力与距离拖动股数
拖动“绳子股数 n”，n 越大拉力 F 越小（越省力），但绳端移动距离 s绳 越大。
滑轮组：F = (G物 + G动) / n s绳 = n·h（n 为承担物重的绳子股数）
拉力 F=(G物+G动)/n
—
绳端移动距离 s绳=n·h
—
💡 n 越大越省力（F 越小），但绳端要移动的距离 s绳=n·h 越大——再次印证“省力必费距离”。判断 n：数直接吊着动滑轮的绳子段数，绕过定滑轮后垂下去的那段“自由端”不算。
✅ 【原理】为什么 F = (G物+G动)/n？
被提升的是“物体 + 动滑轮组”这个整体，它受到的向下的重力是 G物 + G动；向上吊着它的是 n 段绳子。由于是同一根绳子绕过各个滑轮，在不计绳重和摩擦时每一段绳子的拉力都相等，都等于 F。
匀速提升时受力平衡：nF = G物 + G动，所以 F = (G物+G动)/n。
同理，动滑轮组升高 h，n 段绳子都要各缩短 h，绳端就必须拉过 s绳 = n·h。
被提升的是“物体 + 动滑轮组”这个整体，它受到的向下的重力是 G物 + G动；向上吊着它的是 n 段绳子。由于是同一根绳子绕过各个滑轮，在不计绳重和摩擦时每一段绳子的拉力都相等，都等于 F。
匀速提升时受力平衡：nF = G物 + G动，所以 F = (G物+G动)/n。
同理，动滑轮组升高 h，n 段绳子都要各缩短 h，绳端就必须拉过 s绳 = n·h。
⚠️ “奇动偶定”绕绳口诀：确定 n 后开始绕绳——n 是奇数时，绳的固定端系在动滑轮的挂钩上；n 是偶数时，绳的固定端系在定滑轮（或固定支架）上。这样才能保证正好有 n 段绳子吊着动滑轮组。
2.3 滑轮组计算方法n · h
- 确定股数 n：看有几段绳子直接吊着动滑轮（连同动滑轮上的物体一起承担物重）；
- 算拉力：F = (G物 + G动) / n（不计摩擦）；
- 算绳长/绳端移动：s绳 = n × h物；
- 拉力端速度：v绳 = n × v物。
📝 例题：用 n=3 的滑轮组提升 G物=600 N 的重物，动滑轮重 60 N，把物体提高 2 m（不计摩擦）。求拉力 F 和绳端移动的距离 s绳。
F = (G物+G动)/n = (600+60)/3 = 220 N；
s绳 = n·h = 3 × 2 m = 6 m。
s绳 = n·h = 3 × 2 m = 6 m。
省力约 3 倍，但拉动的绳子长了 3 倍。
使用定滑轮的主要好处是（ ）
定滑轮实质是等臂杠杆，F=G，不省力也不省距离，但可以改变力的方向，使用更方便。
用 3 段绳子承担物重的滑轮组，将重 300 N 的物体匀速提升 1 m（不计摩擦和动滑轮重），则拉力 F 和绳端移动距离分别为（ ）
F = G/n = 300/3 = 100 N；s绳 = n·h = 3×1 = 3 m。省力 3 倍，费距离 3 倍。
🎯 学习目标：理解有用功、额外功、总功；会计算机械效率 η=W有用/W总×100%；知道提高机械效率的方法。
3.1 有用功、额外功与总功三种功
| 名称 | 含义 | 常见表达 |
|---|---|---|
| 有用功 W有用 | 为达到目的必须做的功 | 提升重物：W有用 = G物·h |
| 额外功 W额外 | 并非需要、但又不得不做的功 | 克服机械自重、绳与轮间摩擦所做的功 |
| 总功 W总 | 动力对机械做的全部功 | W总 = W有用 + W额外 = F·s |
W总 = W有用 + W额外 η = W有用 / W总 × 100%
💡 由于总存在额外功（机械自重、摩擦），有用功总小于总功，所以机械效率 η 总是小于 100%，只能接近而不能达到或超过。
✅ 【原理】机械效率的概念是怎么产生的？
功的原理告诉我们：理想机械不省功（W总 = W有用）。可是真实的机械有自重、有摩擦，我们不得不额外做一些“并不想做、却又不得不做”的功——这就是额外功。
于是 W总 = W有用 + W额外 > W有用。为了衡量一台机械“多大比例的功用在了正地方”，就用有用功与总功的比值来定义机械效率 η。
因为 W额外 不可能为零，所以 η 恒小于 1；η 是比值，没有单位，通常用百分数表示。
功的原理告诉我们：理想机械不省功（W总 = W有用）。可是真实的机械有自重、有摩擦，我们不得不额外做一些“并不想做、却又不得不做”的功——这就是额外功。
于是 W总 = W有用 + W额外 > W有用。为了衡量一台机械“多大比例的功用在了正地方”，就用有用功与总功的比值来定义机械效率 η。
因为 W额外 不可能为零，所以 η 恒小于 1；η 是比值，没有单位，通常用百分数表示。
用滑轮组提升重物时的常用变形式：
η = W有用/W总 = G物h / (F·s绳) = G物h / (F·nh) = G物 / (nF)
（把 s绳 = nh 代入即可约掉 h，所以机械效率与提升高度 h 无关！）
η = W有用/W总 = G物h / (F·s绳) = G物h / (F·nh) = G物 / (nF)
（把 s绳 = nh 代入即可约掉 h，所以机械效率与提升高度 h 无关！）
| 额外功的来源 | 说明 | 对应的减小办法 |
|---|---|---|
| 克服机械自重做的功 | 提升重物时，动滑轮、绳子、桶等也被一起提高了，这部分 G动h 属于额外功 | 减轻机械自重（用轻质滑轮和绳） |
| 克服摩擦做的功 | 绳与轮槽之间、轮与轴之间的摩擦要消耗一部分功 | 加润滑油，减小摩擦 |
| 其他（如提沙时桶重） | 若目的是提沙，则桶重做的功是额外功；若目的是把桶和沙一起提上去，则桶重做的功属于有用功 | 先看清“目的是什么”再分类 |
⚠️ 判断有用功的唯一标准是“目的”：用水桶从井里提水，目的是水 → W有用 = G水h，桶重做的功是额外功；如果不小心把桶掉进井里，现在目的是捞桶 → W有用 = G桶h，此时水重做的功反而成了额外功。
3.2 机械效率计算器 η = W有用/W总拖动计算
拖动物重、高度、拉力、绳端距离，观察有用功、总功与机械效率 η 的变化。
η = W有用 / W总 × 100% = G物h / (F s) × 100%
有用功 W有用=G物·h
—
总功 W总=F·s
—
机械效率 η
—
⚠️ 调小拉力 F 或距离 s（减小额外功），机械效率 η 会升高，但始终小于 100%。若算出 η≥100%，一定是数据或计算出错了。
3.3 提高机械效率的方法减小额外功
提高机械效率的途径：核心是减小额外功在总功中所占的比例。
减小额外功
- 减轻机械自重（用更轻的动滑轮、绳子）；
- 给转轴等处加润滑油，减小摩擦。
增大有用功比例
- 在机械能承受范围内适当增大所提物重，使有用功占比更高（额外功变化不大时更划算）。
💡 机械效率与功率是两回事：效率 η 表示有用功占总功的比例（多有用），功率 P 表示做功的快慢（多快）。效率高不代表功率大，反之亦然。
⚠️ 与机械效率无关的因素：提升的高度 h（由 η = G物/(nF) 可见 h 已被约掉）、提升的快慢（速度、功率）、绳子的绕法与股数 n（增大 n 虽然更省力，但同时也要多提起动滑轮，效率不会因此提高）。
用滑轮组提升重物时，下列做法能提高机械效率的是（ ）
机械效率只由有用功与总功之比决定，与高度、速度无关；换更重的动滑轮会增大额外功、降低效率；加润滑油减小摩擦 → 减小额外功 → 提高效率。
某滑轮组把 600 N 的物体提升 2 m，拉力做的总功为 1500 J，该滑轮组的机械效率是（ ）
W有用 = G·h = 600×2 = 1200 J；η = W有用/W总 = 1200/1500 × 100% = 80%。