🎯 学习目标：经历探究电流与电压、电阻关系的过程；理解控制变量法；知道电阻一定时电流与电压成正比，电压一定时电流与电阻成反比。
1.1 探究实验的设计：控制变量法控制变量法
两个实验、两条结论，缺一不可。注意滑动变阻器在两个实验中作用不同。
研究问题：导体中的电流 I 可能跟导体两端的电压 U、导体的电阻 R 有关。
难点：I 同时受 U 和 R 两个因素影响 → 必须使用控制变量法：先保持 R 不变研究 I 与 U 的关系，再保持 U 不变研究 I 与 R 的关系。
难点：I 同时受 U 和 R 两个因素影响 → 必须使用控制变量法：先保持 R 不变研究 I 与 U 的关系，再保持 U 不变研究 I 与 R 的关系。
实验一：R 一定，研究 I 与 U
- 定值电阻 R 取 10 Ω 保持不变；
- 移动滑动变阻器滑片，改变 R 两端电压 U；
- 记录多组 U、I 数据并作 I–U 图像；
- 图像是一条过原点的直线。
实验二：U 一定，研究 I 与 R
- 更换 R = 5 Ω、10 Ω、15 Ω、20 Ω 的定值电阻；
- 每换一次 R，都要移动滑片使电压表示数保持 3 V 不变；
- 记录多组 R、I 数据并作 I–R 图像；
- 图像是一条双曲线（反比曲线）。
| 实验器材 | 在实验中的作用 |
|---|---|
| 电流表（串联接入） | 测量通过定值电阻的电流 I |
| 电压表（并联在 R 两端） | 测量定值电阻两端的电压 U |
| 滑动变阻器 | ① 保护电路（闭合开关前滑片置于阻值最大处）； ② 实验一中改变 R 两端的电压； ③ 实验二中换 R 后保持 R 两端电压不变 |
| 定值电阻若干 | 提供不同的电阻值（实验二中更换） |
| 电池组、开关、导线 | 提供电源、控制与连接电路 |
💡 控制变量法：当一个物理量同时与多个因素有关时，每次只改变其中一个因素，而控制其他因素不变，分别研究，最后综合得出结论。这是初中物理最核心的研究方法。
⚠️ 实验二中换用不同阻值的定值电阻后，必须重新移动滑片使电压表示数回到原来的值（如 3 V），否则就不是"电压一定"了，这是本实验最容易失分的地方。
1.2 两个探究实验的图像拖动滑块
先把第一个滑块放在 0 看"实验一"（直线），再拖到 1 看"实验二"（双曲线）；然后拖动对应的 U 或 R 滑块观察电流变化。
用控制变量法分两步探究：先固定 R 变 U，再固定 U 变 R。
当前电流 I
—
结论一：电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比。
结论二：电压一定时，导体中的电流跟导体的电阻成反比。
✅ 图像识别：I–U 图像是过原点的直线（正比）；I–R 图像是双曲线（反比，R 与 I 的乘积恒等于 U）。
⚠️ 切勿把两条结论合起来说成"电流与电压成正比、与电阻成反比"而丢掉前提。任何一条结论都必须带上"××一定时"。
1.3 实验数据与结论分析数据分析
| R / Ω | U / V | I / A | 规律 |
|---|---|---|---|
| 10 | 1.0 | 0.10 | U 变为 2 倍，I 也变为 2 倍 |
| 10 | 2.0 | 0.20 | U 变为 3 倍，I 也变为 3 倍 |
| 10 | 3.0 | 0.30 | U / I = 10 Ω 恒定 |
| 10 | 4.0 | 0.40 | I 与 U 成正比 |
| U / V | R / Ω | I / A | 规律 |
|---|---|---|---|
| 3.0 | 5 | 0.60 | R 变为 2 倍，I 变为原来的 1/2 |
| 3.0 | 10 | 0.30 | R 变为 3 倍，I 变为原来的 1/3 |
| 3.0 | 15 | 0.20 | U = I·R = 3 V 恒定 |
| 3.0 | 20 | 0.15 | I 与 R 成反比 |
🤔 为什么实验要"多次测量"？与测长度的多次测量目的相同吗？
本实验多次测量是为了寻找普遍规律、避免偶然性得出错误结论，不能把几组数据求平均值。
而用刻度尺测长度的多次测量求平均值，目的是减小误差。
而用刻度尺测长度的多次测量求平均值，目的是减小误差。
口诀：探究规律 → 多次测量找普遍性；测量定值 → 多次测量求平均减小误差。
在"探究电流与电压、电阻的关系"实验中，当研究电流与电阻的关系时，更换不同阻值的定值电阻后，应该（ ）
研究 I 与 R 的关系要控制电压 U 不变。换 R 后电路总电阻改变，定值电阻两端电压会变化，必须移动滑片使电压表示数恢复到原来的数值。
某同学作出的 I–U 图像是一条过原点的直线，由此可知（ ）
过原点的直线说明 U / I 为常数，即电阻 R 为定值，此时电流与电压成正比。电阻是导体本身的性质，与 U、I 均无关，电压为零时电阻依然存在。
🎯 学习目标：理解欧姆定律的内容与表达式 I=U/R；会用变形式 U=IR、R=U/I 进行计算；注意单位统一、同一性与同时性。
2.1 欧姆定律的内容与公式核心规律
I=U/R 是唯一的原始式，U=IR 与 R=U/I 都是它的数学变形。
欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比。
数学表达式： I = U / R
| 符号 | 物理量 | 单位（必须统一使用） |
|---|---|---|
| I | 电流 | 安培，符号 A |
| U | 电压 | 伏特，符号 V |
| R | 电阻 | 欧姆，符号 Ω |
变形式 U = I R
已知电流和电阻，可求这段导体两端的电压。串联分压计算常用。
变形式 R = U / I
这是电阻的计算式（测量式），是伏安法测电阻的原理。只能"算出"电阻，不能"决定"电阻。
⚠️ 本章最大易错点：由 R = U / I 不能说"电阻与电压成正比、与电流成反比"！
电阻是导体本身的一种性质，由导体的材料、长度、横截面积决定（还与温度有关），与它两端是否有电压、是否有电流通过都没有关系。一根 10 Ω 的电阻丝，即使放在抽屉里（U=0、I=0），它的电阻仍然是 10 Ω。
电阻是导体本身的一种性质，由导体的材料、长度、横截面积决定（还与温度有关），与它两端是否有电压、是否有电流通过都没有关系。一根 10 Ω 的电阻丝，即使放在抽屉里（U=0、I=0），它的电阻仍然是 10 Ω。
✅ 使用欧姆定律的三个"性"：
① 同一性——I、U、R 必须是同一段导体（同一个用电器）的三个量，不能张冠李戴；
② 同时性——三个量必须是同一时刻的数值；
③ 统一性——单位必须统一为 A、V、Ω（如 200 mA 要先化成 0.2 A）。
① 同一性——I、U、R 必须是同一段导体（同一个用电器）的三个量，不能张冠李戴；
② 同时性——三个量必须是同一时刻的数值；
③ 统一性——单位必须统一为 A、V、Ω（如 200 mA 要先化成 0.2 A）。
2.2 欧姆定律计算器实时计算
拖动 U（0~12 V）和 R（2~24 Ω），观察电流 I 的变化：线越粗、小球越多表示电流越大。
I = U / R （U 用 V，R 用 Ω，算得 I 的单位就是 A）
—
电流 I = U / R
—
换算为毫安
—
反算 R = U / I
—
电阻 R 不变时，U 增大 → I 成正比增大
电压 U 不变时，R 增大 → I 成反比减小
💡 把 U 拖到 0，电流也变为 0，但电阻条的长度没有变化——再次说明电阻与电压、电流无关。
📝 例题：一个电阻两端电压为 4.5 V 时，通过它的电流是 0.3 A。求：(1) 它的电阻；(2) 若电压升高到 9 V，电流是多少？
(1) R = U / I = 4.5 V ÷ 0.3 A = 15 Ω；
(2) 电阻是导体本身的性质，仍为 15 Ω，I′ = U′ / R = 9 V ÷ 15 Ω = 0.6 A。
(2) 电阻是导体本身的性质，仍为 15 Ω，I′ = U′ / R = 9 V ÷ 15 Ω = 0.6 A。
电压变为 2 倍，电流也变为 2 倍，与"R 一定时 I 与 U 成正比"一致。
2.3 欧姆定律的解题步骤解题规范
- 审题：判断电路是串联还是并联，弄清各电表测的是哪个用电器；
- 画等效电路图，把已知量标在对应的元件上；
- 统一单位：mA → A（÷1000），kΩ → Ω（×1000）；
- 选公式：求电流用 I=U/R，求电压用 U=IR，求电阻用 R=U/I；
- 代数据、带单位运算，最后写答。
| 已知 | 求 | 所用公式 | 示例 |
|---|---|---|---|
| U、R | I | I = U / R | U=6 V，R=20 Ω → I=0.3 A |
| I、R | U | U = I R | I=0.5 A，R=8 Ω → U=4 V |
| U、I | R | R = U / I | U=3 V，I=0.2 A → R=15 Ω |
💡 单位换算：1 A = 1000 mA；1 kΩ = 1000 Ω；1 MΩ = 10⁶ Ω。若电流用 mA、电压用 V，则算出的电阻单位是 kΩ。
关于公式 R = U / I，下列说法正确的是（ ）
R = U / I 只是计算（测量）电阻的公式。电阻是导体本身的性质，由材料、长度、横截面积（还有温度）决定，与 U、I 都无关，所以 A、B、C 全错。
一个定值电阻两端加 6 V 电压时，通过的电流为 0.5 A。当它两端的电压变为 3 V 时，它的电阻和电流分别是（ ）
R = U / I = 6 V ÷ 0.5 A = 12 Ω，定值电阻的阻值不变；I′ = U′ / R = 3 V ÷ 12 Ω = 0.25 A。电压减半，电流也减半。
🎯 学习目标：掌握伏安法测电阻的原理、电路、器材作用与实验步骤；知道多次测量求平均值可以减小误差；会分析常见故障。
3.1 伏安法测电阻：原理、器材与步骤必考实验
口诀：电流表串联、电压表并联、变阻器串联保护并调压；断开开关连电路，滑片先到最大端。
实验名称：伏安法测电阻。
实验原理：R = U / I（用电压表测出待测电阻两端的电压 U，用电流表测出通过它的电流 I，再计算出电阻）。
实验原理：R = U / I（用电压表测出待测电阻两端的电压 U，用电流表测出通过它的电流 I，再计算出电阻）。
| 器材 | 连接方式 | 作用与注意事项 |
|---|---|---|
| 电流表 | 与待测电阻 Rx 串联 | 测通过 Rx 的电流；"+"进"−"出，先试触选量程（0~0.6 A 或 0~3 A） |
| 电压表 | 与待测电阻 Rx 并联 | 测 Rx 两端的电压；"+"进"−"出，量程 0~3 V 或 0~15 V |
| 滑动变阻器 | 与 Rx 串联 | ① 保护电路；② 改变 Rx 两端的电压和电流，以便多次测量；"一上一下"接线 |
| 开关 | 串联在干路 | 闭合前滑片必须置于阻值最大处 |
| 电源、导线 | — | 连接电路时开关必须断开 |
- 按电路图连接实物，连接过程中开关断开，滑动变阻器滑片置于阻值最大端；
- 检查电路无误后闭合开关，缓慢移动滑片，观察两表指针是否正常偏转；
- 移动滑片，使电压表示数为某一合适值，同时读出电流表示数，记入表格；
- 改变滑片位置，重复测量 3 次以上，得到多组 U、I；
- 分别算出每次的 R = U / I，再求平均值作为 Rx 的测量结果；
- 实验结束，断开开关，整理器材。
✅ 为什么要多次测量求平均值？因为待测电阻是一个定值，多次测量取平均可以减小误差（这与"探究电流与电压关系"中多次测量寻找普遍规律的目的不同）。
⚠️ 测小灯泡电阻时不能求平均值！因为灯丝电阻随温度升高而明显增大，几次测的根本不是同一个电阻值，求平均没有意义（详见第18章"测小灯泡电功率"）。
3.2 电路元件的连接与作用（点击探索）点击查看
点击按钮会在电路图上高亮说明对应元件；再次点击可收起。
👆 点击左侧按钮，查看伏安法电路中每个元件的连接方式与作用。
3.3 数据处理与常见故障分析故障判断
| 故障现象 | 可能原因 | 判断方法 |
|---|---|---|
| 两表示数均为零，灯（或电阻）不工作 | 电路某处断路（开关接触不良、导线断） | 用电压表逐段测量，有示数处即断路点 |
| 电流表有示数，电压表示数为零 | Rx 被短路 | 电流表读数偏大，Rx 两端无电压 |
| 电压表有示数（接近电源电压），电流表示数为零 | Rx 断路 | 电压表通过自身大电阻"串"在电路中，测的是电源电压 |
| 指针反向偏转 | 电流表/电压表"+""−"接线柱接反 | 断开开关，把两接线柱对调 |
| 指针迅速偏转到最大并撞针 | 量程选小了 | 立即断开开关，改用大量程 |
| 次数 | U / V | I / A | R = U/I / Ω |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.5 | 0.14 | 10.7 |
| 2 | 2.0 | 0.20 | 10.0 |
| 3 | 2.5 | 0.25 | 10.0 |
| 平均 | — | — | (10.7+10.0+10.0)/3 ≈ 10.2 |
💡 电阻测量值总有误差，主要来源于电表本身的读数误差和电表内阻的影响（电压表并联会分走微小电流，电流表串联有微小分压）。
用伏安法测定值电阻的阻值时，多次改变滑动变阻器滑片的位置进行测量，其主要目的是（ ）
待测的是定值电阻，其阻值本身不变，多次测量取平均值的目的是减小误差。而"探究电流与电压关系"实验中多次测量是为了寻找普遍规律，两者目的不同。
伏安法测电阻的实验中，闭合开关后发现电压表示数接近电源电压，电流表示数几乎为零，故障可能是（ ）
待测电阻断路时，电路中几乎无电流（电流表示数为零），电压表通过自身很大的内阻接入电路，测得的近似为电源电压。若是短路，则电压表示数为零而电流表示数偏大。
🎯 学习目标：会推导并应用串联总电阻 R=R₁+R₂ 和并联总电阻 1/R=1/R₁+1/R₂；理解"串联相当于增大长度、并联相当于增大横截面积"。
4.1 串联与并联总电阻的推导等效替代法
推导要抓住两点：串并联电路的电流电压规律 + 欧姆定律。
等效电阻（总电阻）：如果用一个电阻代替电路中的几个电阻，而不改变电路两端的电压和电路中的电流，那么这个电阻就叫做那几个电阻的等效电阻（总电阻）。这里用到了等效替代法。
串联推导：R = R₁ + R₂
串联电路：I = I₁ = I₂ （电流处处相等）U = U₁ + U₂ （总电压等于各部分电压之和）
由欧姆定律：U = IR，U₁ = IR₁，U₂ = IR₂
代入得：IR = IR₁ + IR₂
两边同除以 I：R = R₁ + R₂
并联推导：1/R = 1/R₁ + 1/R₂
并联电路：U = U₁ = U₂ （各支路电压相等）I = I₁ + I₂ （干路电流等于各支路电流之和）
由欧姆定律：I = U/R，I₁ = U/R₁，I₂ = U/R₂
代入得：U/R = U/R₁ + U/R₂
两边同除以 U：1/R = 1/R₁ + 1/R₂
| 串联 | 并联 | |
|---|---|---|
| 电流 | I = I₁ = I₂（处处相等） | I = I₁ + I₂（干路等于支路之和） |
| 电压 | U = U₁ + U₂ | U = U₁ = U₂ |
| 总电阻 | R = R₁ + R₂ | 1/R = 1/R₁ + 1/R₂，两个电阻时 R = R₁R₂/(R₁+R₂) |
| 大小关系 | 总电阻 大于 任何一个分电阻 | 总电阻 小于 任何一个分电阻 |
| 形象理解 | 相当于增大了导体的长度 | 相当于增大了导体的横截面积 |
| 分配规律 | 分压：U₁/U₂ = R₁/R₂（电阻大分压多） | 分流：I₁/I₂ = R₂/R₁（电阻大分流少） |
| n 个相同电阻 R₀ | R = nR₀ | R = R₀/n |
✅ 记忆口诀：串联电阻"越串越大"，比最大的还大；并联电阻"越并越小"，比最小的还小。并联时若 R₁ = R₂ = R₀，则 R = R₀/2。
4.2 串并联总电阻计算器对比演示
同时观察上下两个电路：串联总电阻始终比 R₁、R₂ 都大，并联总电阻始终比 R₁、R₂ 都小。
拖动改变 R₁、R₂，比较串联与并联总电阻的大小。
—
串联总电阻 R = R₁+R₂
—
并联总电阻 R = R₁R₂/(R₁+R₂)
—
串联时干路电流（U=6 V）
—
并联时干路电流（U=6 V）
—
串联：R串 = R₁ + R₂ 总电阻大于任一分电阻
并联：1/R并 = 1/R₁ + 1/R₂ 总电阻小于任一分电阻
两个电阻并联的实用式：R并 = R₁R₂ / (R₁+R₂)
口诀："积除以和"，只适用于两个电阻并联。
💡 把 R₁、R₂ 都拖到相同值（如 12 Ω），可以看到：串联总电阻 = 2R₀ = 24 Ω，并联总电阻 = R₀/2 = 6 Ω。
⚠️ 并联公式左边是 1/R，算完后一定要取倒数才是总电阻，这是计算中最常见的错误。
4.3 典型例题与物理意义例题精讲
📝 例题1：R₁ = 20 Ω 与 R₂ = 30 Ω 串联接在 10 V 电源上。求总电阻、电流及各自电压。
R = R₁ + R₂ = 20 Ω + 30 Ω = 50 Ω；
I = U / R = 10 V ÷ 50 Ω = 0.2 A（串联电流处处相等）；
U₁ = I R₁ = 0.2 A × 20 Ω = 4 V，U₂ = I R₂ = 0.2 A × 30 Ω = 6 V。
I = U / R = 10 V ÷ 50 Ω = 0.2 A（串联电流处处相等）；
U₁ = I R₁ = 0.2 A × 20 Ω = 4 V，U₂ = I R₂ = 0.2 A × 30 Ω = 6 V。
验证：U₁+U₂ = 10 V = U ✓；U₁ : U₂ = 20 : 30 = R₁ : R₂ ✓（电阻大分压多）。
📝 例题2：R₁ = 20 Ω 与 R₂ = 30 Ω 并联接在 6 V 电源上。求各支路电流、干路电流与总电阻。
并联时各支路电压均为 6 V。
I₁ = U / R₁ = 6 V ÷ 20 Ω = 0.3 A；I₂ = U / R₂ = 6 V ÷ 30 Ω = 0.2 A；
I = I₁ + I₂ = 0.5 A；
R = U / I = 6 V ÷ 0.5 A = 12 Ω。
也可直接用公式：R = R₁R₂/(R₁+R₂) = 20×30/50 = 12 Ω。
I₁ = U / R₁ = 6 V ÷ 20 Ω = 0.3 A；I₂ = U / R₂ = 6 V ÷ 30 Ω = 0.2 A；
I = I₁ + I₂ = 0.5 A；
R = U / I = 6 V ÷ 0.5 A = 12 Ω。
也可直接用公式：R = R₁R₂/(R₁+R₂) = 20×30/50 = 12 Ω。
12 Ω 比 20 Ω 和 30 Ω 都小 ✓；I₁ : I₂ = 3 : 2 = R₂ : R₁ ✓（电阻大分流少）。
🤔 为什么并联的总电阻反而变小？
导体电阻与横截面积成反比。把两个电阻并联，相当于给电流提供了两条并行的通道，等效于导体的横截面积增大了，所以总电阻减小、干路电流增大。
同理，串联相当于把两段导体接长，长度增大 → 电阻增大。
同理，串联相当于把两段导体接长，长度增大 → 电阻增大。
家里同时使用的用电器越多（并联），干路电流越大，所以要注意不能超过导线和保险丝的承受能力。
把 R₁ = 6 Ω 和 R₂ = 12 Ω 的两个电阻并联，则总电阻为（ ）
R = R₁R₂/(R₁+R₂) = 6×12 ÷ (6+12) = 72 ÷ 18 = 4 Ω。并联总电阻小于任何一个分电阻（4 Ω < 6 Ω），可用来快速排除 A、B、D。
关于串联和并联电路的总电阻，下列说法正确的是（ ）
串联 R = R₁+R₂，大于任一分电阻，相当于增大长度；并联 1/R = 1/R₁+1/R₂，小于任一分电阻，相当于增大横截面积。故只有 C 正确。